Der Struktur von topologischen Quantenfeldtheorien auf der Spur

„Das Studium von topologischen Quantenfeldtheorien – abgekürzt: tQFTen – ist ein Bereich der Topologie, und die Topologie wiederum untersucht diejenigen intrinsischen, also wesensbestimmenden Strukturen geometrischer Objekte, die bei Verzerrungen und Dehnungen erhalten bleiben“, erläutert Katrin Wendland, wenn man sie fragt, worum es bei der Tagung „From tQFT to tt* and integrability“ gehen wird, die sie vom 25. bis zum 29. Mai 2007 zusammen mit ihrem Kollegen Ron Donagi von der University of Pennsylvania, Philadelphia, an der Universität Augsburg ausrichten wird. „Noch einfacher formuliert, könnte man das, worauf unser Thema aufbaut, auch 'Gummibandgeometrie' nennen“, erklärt die Augsburger Ordinaria für Analysis und Geometrie, die maßgeblich auch an der Gestaltung und Organisation des „2007-08 Warwick EPSRC Symposium on Algebraic Geometry“ beteiligt ist. Dieses einjährige Symposium zählt fraglos zu den weltweit renommiertesten und ambitioniertesten Treffpunkten der internationalen Mathematik-Community, die anstehende Augsburger Pfingsttagung ist Teil der Vorbereitungen auf dieses Warwick-Symposium.

Hinter dem, was Wendland für den mathematischen Laien als „Gummibandgeometrie“ beschreibt, verbirgt sich ein mathematisches Forschungsgebiet, das enge Bezüge zur Zahlentheorie und zu vielen Bereichen der mathematischen Physik aufweist, insbesondere etwa zur Hochenergiephysik, zu konformen Feldtheorien und zum Quantencomputer. Mit topologischen Quantenfeldtheorien lassen sich z. B. Aspekte des Verhaltens von Elektronenwolken an der Schnittstelle zweier Halbleiter unter dem Einfluss von Magnetfeldern beschreiben. Wendland: „Wenn man ihn bauen könnte, dann könnte man den Quantencomputer mit Hilfe der tQFT so konstruieren, dass er in sich Fehler-resistent wäre.“

Die Augsburger Konferenz befasst sich allerdings weniger mit solchen tQFT-Anwendungsaspekten: „Wir wählen hier vielmehr einen Zugang, der aus der Theoretischen Physik entliehen ist. In der klassischen Mechanik“, erklärt Wendland, „studiert man die Bewegung punktförmiger Teilchen in interessanten geometrischen Räumen. Ersetzt man diese Punktteilchen durch ausgedehnte Objekte wie Kreise oder Liniensegmente, dann treten tQFTen in natürlicher Weise auf, und über das Studium dieser tQTFten kann man rückwirkend wiederum mehr über die geometrischen Räume erfahren und lernen, in denen sich die genannten Objekte gleichsam als „Testpartikel“ bewegen. „

Nachdem die Anwendungen von tQFTen zwar bereits vielfältig sind, eine vollständige und befriedigende mathematische Beschreibung dieser Theorien selbst aber noch nicht vorliegt, wird es auf der Augsburger Konferenz besonders um grundlegende Fragen gehen, die der Struktur und den Eigenschaften von tQFTen gelten. Wendland: „Eines unserer konkreten Ziele ist z. B., die sogenannten tt*-Gleichungen besser zu verstehen, die beschreiben, wie man tQFTen deformieren kann. Eine wichtige Methode zur Behandlung dieser tt*-Gleichungen kommt wiederum aus der Theorie sogenannter 'integrabler Systeme' und dementsprechend lautet der Titel unserer Konferenz „From tQFT to tt* and integrability“.

Die Augsburger Tagung ist Auftaktveranstaltung einer internationalen Kooperation von mathematischen Physikern und algebraischen Geometern von der UPenn Philadelphia, USA, der University of Warwick, UK, und der Universität Augsburg, die in das „2007-08 Warwick EPSRC Symposium on Algebraic Geometry“ münden wird. Bei diesem Warwick-Symposium handelt es sich um eine sich über ein Jahr hinweg erstreckende Reihe einzelner Tagungen und Workshops, zu denen jeweils mehrere Gastwissenschaftlerinnen und Gastwissenschaftler für längere Zeit an die University of Warwick eingeladen werden, um dort gemeinsam zu forschen. Für dieses Symposium selbst und für Folgeaktivitäten in den drei anschließenden Jahren hat der Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC), das britische Pendant zur DFG, bislang bereits 220.000 Pfund Sterling bewilligt. Im Rahmen dieses Warwick-Symposions zeichnet Wendland als Hauptorganisatorin gemeinsam mit Ron Donagi (UPenn Philadelphia), Claus Hertling (Mannheim), Nigel Hitchin (Oxford) and Miles Reid (Warwick) für den Teil „Geometry and topological field theories (TQFT)“ verantwortlich, der sich zeitlich von Mitte Februar bis Mitte April 2008 erstrecken und in dessen Zentrum Anfang April eine einwöchige Tagung stehen wird.

Ron Donagi von der UPenn Philadelphia ist auch Wendlands Ko-Veranstalter und -organisator der anstehenden Augsburger Pfingsttagung, die zu etwa gleichen Teilen von der DFG und der National Science Foundation finanziert wird.

Kontakt:

Prof. Dr. Katrin Wendland
Institut für Mathematik
Lehrstuhl für Analysis und Geometrie
Universität Augsburg
D-86135 Augsburg
Telefon: ++49 (0821) 598-2138
Telefax: ++49 (0821) 598-2458
Katrin.Wendland@Math.Uni-Augsburg.DE