Göttinger Promovend löst Atiyah-Problem der Bettizahlen

Für seine mit „summa cum laude“ bewertete Promotion ist der Mathematiker Dr. Lukasz Grabowski mit dem Dissertationspreis des Universitätsbundes Göttingen ausgezeichnet worden. Der Göttinger Promovend hat ein rund 35 Jahre altes Problem in der Beschreibung vieldimensionaler mathematischer Modelle gelöst und dabei eine überraschende Verbindung zur theoretischen Informatik hergestellt.

Der mit 8.000 Euro dotierte Dissertationspreis des Universitätsbundes wird von der AKB-Stiftung gefördert. Der Universitätsbunds-Vorsitzende Prof. Dr. Arnulf Quadt überreichte die Auszeichnung am 2. Juni 2012 im Rahmen des Göttinger Alumni-Tages.

Dr. Grabowski beantwortet eine alte Frage des englischen Mathematikers Sir Michael Atiyah. Der Träger der Fields-Medaille hatte abstrakten mathematischen Modellen von Kristallen sogenannte L2-Bettizahlen zugeordnet, die die mittlere Anzahl von Löchern oder Schleifen pro Volumen in den Kristallen messen. Atiyah fragte, ob bei der Berechnung von Bettizahlen nur ganz spezielle Werte möglich sind, zum Beispiel Vielfache von einhalb. Zur Beantwortung dieser Frage bringt Dr. Grabowski erstmals eine Verbindung zur theoretischen Informatik ins Spiel: die sogenannten Turing-Maschinen.
Das sind abstrakte Computerprogramme, die ohne weitere Eingabe die Dezimaldarstellung einer zu berechnenden Zahl ausgeben, ohne das vorher erkennbar ist, ob die Ausgabe größer oder kleiner als eins ist. Dr. Grabowski ist es gelungen, für jede solcher Turing-Maschinen ein abstraktes Kristall-Modell zu konstruieren, so dass die Bettizahl genau die Ausgabe des Computerprogramms ist. Insbesondere kann man jede beliebige Zahl als Bettizahl erhalten.

„Den von Atiyah erhofften Quantisierungseffekt gibt es also nicht, die Bettizahlen sind genauso kompliziert und unberechenbar wie Turing-Maschinen im Allgemeinen“, so Prof. Dr. Thomas Schick. Er hat die Doktorarbeit an der Fakultät für Mathematik und Informatik gemeinsam mit Prof. Dr. Andreas Thom betreut. „Mit seiner innovativen und effizienten Methode kommt Lukasz Grabowski zu einem eindeutigen Ergebnis, das viele neue Wege zukünftiger Forschung an der Schnittstelle von theoretischer Informatik und Geometrie eröffnet.“

Lukasz Grabowski, Jahrgang 1984, studierte von 2003 bis 2008 Mathematik an den Universitäten Stettin und Warschau. Im Anschluss war er von Oktober 2008 bis März 2011 Doktorand im Graduiertenkolleg „Mathematische Strukturen in der modernen Quantenphysik“ der Universität Göttingen. Seit April vergangenen Jahres forscht er am Imperial College in London.