Zahngesundheit – Löchrige Probleme für Statistiker

Wie klein darf eine Stichprobe aus einer vorgegebenen Menge eigentlich sein, damit die dort gewonnenen Erkenntnisse immer noch für die Gesamtheit gültig sind? So könnte – leicht verkürzt – die Frage lauten, mit der sich Statistiker um den Mathematikprofessor Michael Falk in den vergangenen Monaten beschäftigt haben. Das scheinbar theoretische Problem hatte einen durchaus praktischen Hintergrund.

„Seit Mitte der 90er-Jahre führt die Deutsche Arbeitsgemeinschaft für Jugendzahnpflege (DAJ) regelmäßig bundesweite Untersuchungen zum Stand der Zahngesundheit von Schülerinnen und Schülern durch“, erklärt Michael Falk. Damit will sie unter anderem überprüfen, ob Aktionen zu mehr Vorsorge in Kindergärten und Schulen tatsächlich den gewünschten Effekt haben.

Jeder Zahn kommt unter die Lupe

In ganz Deutschland machen sich also Zahnärzte-Teams auf den Weg in die Schulen und ermitteln dort die Zahngesundheit sämtlicher Schüler von vorher ausgesuchten Klassen einer bestimmten Jahrgangsstufe. Für jedes Kind dauert solch eine Untersuchung etwa zehn Minuten: Jeder einzelne Zahn wird nach gewissen Kriterien sprichwörtlich unter die Lupe genommen; die Ergebnisse werden für jeden Zahn und jeden Schüler genau dokumentiert. Federführend dabei sind in jedem Bundesland die jeweiligen Landesarbeitsgemeinschaften für Zahngesundheit (LAGZ).

„Im aktuellen Schuljahr interessiert sich die LAGZ Bayern besonders für die Ergebnisse bei den 12- bis 15-jährigen Schülern“, sagt der Statistiker Dr. René Michel. In dieser Altersgruppe hatten die Zahnärzte bei der letzten Untersuchung in Bayern im Jahr 2004 nämlich besonders viele kranke Zähne entdeckt. Daraufhin hatte die LAGZ ein dreijähriges Pilotprojekt zur Prophylaxe gestartet.

Fünf Prozent aller Schüler sind für Bayern zu viel

Nun können die Mediziner natürlich nicht sämtliche Zähne sämtlicher Schüler des Landes untersuchen. Deshalb fordert die DAJ von jedem Bundesland eine repräsentative Stichprobe: Der Umfang dieser Stichprobe soll fünf Prozent der Gesamtzahl an Schülern des jeweiligen Bundeslandes betragen. Für einen Flächenstaat wie Bayern wäre aber auch diese Auswahl finanziell und logistisch nicht zu bewältigen. Deshalb wollte die LAGZ Bayern den Stichprobenumfang verringern, ohne dass damit ein wesentlicher Verlust an Repräsentativität einhergeht – womit die Statistiker der Uni Würzburg ins Spiel kamen.

„Wir haben aus mathematischer Sicht überprüft, wie weit man den Stichprobenumfang verringern kann, um trotzdem noch statistisch gültige Ergebnisse über die Zahngesundheit bayerischer Schulkinder zu erhalten“, beschreibt Stefan Englert, der auch an der Untersuchung mitgearbeitet hat, das Projekt. Das Hauptaugenmerk der Statistiker habe der Frage gegolten, welche Auswirkungen es auf die Genauigkeit der Ergebnisse haben kann, wenn man beispielsweise nur ein oder zwei Prozent aller bayerischen Schüler untersucht. „Je kleiner die Stichprobe nämlich wird, desto größer werden die Ungenauigkeiten der Ergebnisse, und desto mehr weichen die berechneten Werte von den tatsächlichen Werten ab, die man erhielte, würde man alle bayerischen Schüler untersuchen“, so Johannes Hain – ein weiteres Mitglied des Projektteams.

Eine rechenintensive Untersuchung

Mathematische Aussagen über Ergebnisse zu treffen, die noch gar nicht vorliegen, ist auch für Statistiker nicht ganz einfach. Um doch zu einem Ergebnis zu kommen, haben die Mathematiker umfangreiche statistische Simulationen durchgeführt, die sehr rechenintensiv waren: „Die Rechner in den Computerräumen am Institut für Mathematik und Informatik benötigten dafür mehrere Tage“, so Dr. Michel. Dafür war das Ergebnis zumindest für die LAGZ erfreulich: „Wir konnten nachweisen, dass die Stichprobengröße deutlich unter den vorgegebenen fünf Prozent liegen kann, ohne dass die zu erwartenden Ergebnisse wesentlich verfälscht werden.“

Damit war der Job der Mathematiker allerdings noch nicht erledigt. Gemäß dem Wunsch der LAGZ sollten sie außerdem eine konkrete aber repräsentative Stichprobe von bayerischen Schulen bestimmen, in die die Zahnärzte-Teams gehen sollten. „Dazu muss man allerdings wissen, dass der Begriff 'repräsentativ' vor allem im Alltagssprachgebrauch verwendet wird. In der wissenschaftlichen Statistik ist er eher unüblich“, erklärt Michael Falk. „Repräsentativität“ ließe sich nämlich selbst mit einer noch so komplizierten Formel nicht berechnen. Trotzdem konnten Falk und seine Mitarbeiter eine Stichprobe ermitteln, die ein möglichst genaues Abbild der tatsächlichen Schul- und Altersstruktur in Bayern wiedergibt.

Die Auswertung der Ergebnisse soll bessere Vorhersagen ermöglichen

Die Zahngesundheit bayerischer Schulkinder wird am Lehrstuhl für Statistik auch weiterhin eine wichtige Rolle spielen: Studienbegleitend stehen seine Mitarbeiter der LAGZ als Ansprechpartner bei statistischen Nachfragen weiterhin zur Seite. Außerdem werden sie bei der Auswertung der Daten behilflich sein. Schließlich ist es auch für sie interessant, auf der Basis der aktuellsten Ergebnisse die durchgeführten Simulationen und Berechnungen zu überprüfen und gegebenenfalls anzupassen und zu verbessern. Für eventuelle weitere Untersuchungen in den nächsten Jahren könnten sie so noch exaktere Modelle konstruieren und noch genauere Vorhersagen treffen.

Von Seiten des Lehrstuhls wird dieses Projekt insbesondere unterstützt von Dr. René Michel, jetzt Senior Consultant bei Altran CIS, einer in Frankfurt ansässigen und unter anderem im Datenanalysebereich aktiven Unternehmensberatung, und den beiden angehenden Diplom-Mathematikern Stefan Englert und Johannes Hain.

Kontakt: Prof. Dr. Michael Falk, Lehrstuhl für Mathematische Statistik, T: (0931) 31-8 49 39, E-Mail: falk@mathematik.uni-wuerzburg.de