Forum für Wissenschaft, Industrie und Wirtschaft

Hauptsponsoren:     3M 
Datenbankrecherche:

 

"quod erat demonstrandum" dank Computer

25.01.2011
Eine Lösung, die sich rechnet: Mathematische Vermutung nach Jahrzehnten bewiesen

Eine im Jahr 1985 aufgestellte mathematische Vermutung - die Andrews-Robbins-Vermutung - konnte jetzt erstmals bewiesen werden. Damit steht fest, dass sich die Struktur sogenannter "total symmetrischer planarer Partitionen" mit einer einzigen Formel beschreiben lässt.

Die Beweisführung gelang unter Einsatz enormer Computer-Ressourcen und wurde damit erst nach "computergerechter" Aufbereitung der Formel möglich. Dieses mit Unterstützung des Wissenschaftsfonds FWF erzielte Ergebnis einer Forschungsgruppe aus Linz wird heute in den Proceedings of the National Academy of Sciences veröffentlicht. Mit dem Beweis ist endgültig auch die letzte einer ganzen Reihe berühmter mathematischer Vermutungen bewiesen, die sich auf planare Partitionen beziehen.

Auch MathematikerInnen spielen mit Bauklötzen. Zumindest dann, wenn ihr Interesse sogenannten planaren Partitionen gilt. Denn diese werden durch Türme von "Bauklötzen" auf einer schachbrettartigen Grundfläche dargestellt. "Bauen" MathematikerInnen nun solche planaren Partitionen, müssen sie bestimmten Regeln folgen: Kein Turm darf höher sein, als die Grundfläche breit ist, und auch nicht, als ein anderer Turm dahinter oder links. Die Frage, wie viele verschiedene Anordnungen von Türmen sich bei einer gegebenen Grundflächengröße bauen lassen, ist dank einer entsprechenden Formel leicht beantwortet. Schwieriger wird es, wenn die Anordnungen der Türme bestimmte Symmetrien aufweisen sollen oder wenn man nicht die Anordnungen selbst, sondern ihre Bestandteile abzählen will. Zwar gibt es auch dafür Formeln. Doch die Krux ist - nicht bei allen diesen Formeln weiß man, ob sie wirklich korrekt sind. Das wird nur vermutet.

WER WEISS DEN BEWEIS?
Der Beweis, dass eine bestimmte dieser Formeln korrekt ist, gelang nun Dr. Christoph Koutschan und Dr. Manuel Kauers vom Institut für Symbolisches Rechnen der Johannes Kepler Universität Linz in Zusammenarbeit mit Prof. Doron Zeilberger aus den USA. Dabei ging es um eine Formel für die Berechnung einzelner Komponenten in total symmetrischen planaren Partitionen. Zur besonderen Methode der Beweisführung meint Dr. Koutschan: "Wir haben es den Computer machen lassen! In manchen Bereichen der Mathematik ist das ja inzwischen Routine." Das Prinzip hinter solchen Computerbeweisen ist zunächst einfach. Um A=B zu beweisen, berechnet der Computer eine Hilfsgleichung U=V mit folgenden zwei Eigenschaften: "Wenn U=V wahr ist, dann ist auch A=B wahr" und "ob U=V wahr ist, kann leicht überprüft werden".

Was so leicht klingt, stellte tatsächlich eine große Herausforderung dar, wie Dr. Koutschan weiter ausführt: "Dieses Verfahren funktioniert nicht für jede Gleichung. Unser wesentlicher Schritt war es, die Andrews-Robbins-Vermutung in eine geeignete Form zu bringen, die dann mit dem Computer bewiesen werden konnte." Dass die Hilfsgleichung dabei in Wirklichkeit etwas komplexer als "U=V" war, belegt ihr Umfang: Ausgedruckt würde sie ca. 1 Mio. A4-Seiten bedecken und ist damit vermutlich die längste Gleichung, die je in einem mathematischen Beweis verwendet wurde.

STANLEYS LISTE
Der Aufwand für diese "Formulierung" hat sich jedoch gelohnt. Denn mit dem Beweis der Andrews-Robbins-Vermutung gelang es den Forschern, die letzte einer Reihe berühmter Vermutungen zu beweisen. Diese wurden im Jahr 1985 vom US-Mathematiker Richard Stanley auf einer historischen Konferenz in Montreal vorgestellt. Alle diese Vermutungen wurden in den folgenden Jahren bewiesen - bis auf die Andrews-Robbins-Vermutung. Dazu meint Dr. Kauers: "Als letzter verbleibender Eintrag in Stanleys Liste hat diese Vermutung viele bedeutende Experten und Expertinnen angezogen. Trotzdem blieb sie für fast 30 Jahre unbewiesen. Dass der Beweis schließlich mit einem automatischen Beweisverfahren gelungen ist, zeigt, dass moderne Computerprogramme mathematische Probleme knacken können, an denen traditionelle Mathematiker und Mathematikerinnen scheitern."

Zwar sind solche Erfolge bisher die Ausnahme, doch zeigt dieses FWF-Projekt das Potenzial einer computerbasierten Beweisführung. Vor dem Hintergrund des rasanten Fortschritts der Rechnerleistung werden Computer vielleicht eines Tages sogar Antworten zu den größten offenen Fragen der Mathematik liefern.

Originalpublikation: A proof of George Andrews` and David Robbins` q-TSPP conjecture. C. Koutschan, M. Kauers, D. Zeilberger. DOI: 10.1073/pnas.1019186108

Wissenschaftlicher Kontakt:
PD Dr. Manuel Kauers
Johannes Kepler Universität
Institut für Symbolisches Rechnen
Altenberger Straße 69
4040 Linz, Austria
T +43 / 732 / 2468 9958
E Manuel.Kauers@risc.jku.at
Der Wissenschaftsfonds FWF:
Mag. Stefan Bernhardt
Haus der Forschung
Sensengasse 1
1090 Wien
T +43 / 1 / 505 67 40 - 8111
E stefan.bernhardt@fwf.ac.at
Redaktion & Aussendung:
PR&D - Public Relations für Forschung & Bildung Mariannengasse 8 1090 Wien T +43 / 1 / 505 70 44 E contact@prd.at W http://www.prd.at

Jacqueline Bogdanovic | PR&D
Weitere Informationen:
http://www.fwf.ac.at

Weitere Nachrichten aus der Kategorie Interdisziplinäre Forschung:

nachricht Innovation: Optische Technologien verändern die Welt
01.12.2016 | Karlsruher Institut für Technologie

nachricht SeaArt-Projekt startet mit Feldversuchen an Nord- und Ostsee
18.11.2016 | Hochschule Hannover

Alle Nachrichten aus der Kategorie: Interdisziplinäre Forschung >>>

Die aktuellsten Pressemeldungen zum Suchbegriff Innovation >>>

Die letzten 5 Focus-News des innovations-reports im Überblick:

Im Focus: Rätsel um Mott-Isolatoren gelöst

Universelles Verhalten am Mott-Metall-Isolator-Übergang aufgedeckt

Die Ursache für den 1937 von Sir Nevill Francis Mott vorhergesagten Metall-Isolator-Übergang basiert auf der gegenseitigen Abstoßung der gleichnamig geladenen...

Im Focus: Poröse kristalline Materialien: TU Graz-Forscher zeigt Methode zum gezielten Wachstum

Mikroporöse Kristalle (MOFs) bergen große Potentiale für die funktionalen Materialien der Zukunft. Paolo Falcaro von der TU Graz et al zeigen in Nature Materials, wie man MOFs gezielt im großen Maßstab wachsen lässt.

„Metal-organic frameworks“ (MOFs) genannte poröse Kristalle bestehen aus metallischen Knotenpunkten mit organischen Molekülen als Verbindungselemente. Dank...

Im Focus: Gravitationswellen als Sensor für Dunkle Materie

Die mit der Entdeckung von Gravitationswellen entstandene neue Disziplin der Gravitationswellen-Astronomie bekommt eine weitere Aufgabe: die Suche nach Dunkler Materie. Diese könnte aus einem Bose-Einstein-Kondensat sehr leichter Teilchen bestehen. Wie Rechnungen zeigen, würden Gravitationswellen gebremst, wenn sie durch derartige Dunkle Materie laufen. Dies führt zu einer Verspätung von Gravitationswellen relativ zu Licht, die bereits mit den heutigen Detektoren messbar sein sollte.

Im Universum muss es gut fünfmal mehr unsichtbare als sichtbare Materie geben. Woraus diese Dunkle Materie besteht, ist immer noch unbekannt. Die...

Im Focus: Significantly more productivity in USP lasers

In recent years, lasers with ultrashort pulses (USP) down to the femtosecond range have become established on an industrial scale. They could advance some applications with the much-lauded “cold ablation” – if that meant they would then achieve more throughput. A new generation of process engineering that will address this issue in particular will be discussed at the “4th UKP Workshop – Ultrafast Laser Technology” in April 2017.

Even back in the 1990s, scientists were comparing materials processing with nanosecond, picosecond and femtosesecond pulses. The result was surprising:...

Im Focus: Wie sich Zellen gegen Salmonellen verteidigen

Bioinformatiker der Goethe-Universität haben das erste mathematische Modell für einen zentralen Verteidigungsmechanismus der Zelle gegen das Bakterium Salmonella entwickelt. Sie können ihren experimentell arbeitenden Kollegen damit wertvolle Anregungen zur Aufklärung der beteiligten Signalwege geben.

Jedes Jahr sind Salmonellen weltweit für Millionen von Infektionen und tausende Todesfälle verantwortlich. Die Körperzellen können sich aber gegen die...

Alle Focus-News des Innovations-reports >>>

Anzeige

Anzeige

IHR
JOB & KARRIERE
SERVICE
im innovations-report
in Kooperation mit academics
Veranstaltungen

Firmen- und Forschungsnetzwerk Munitect tagt am IOW

08.12.2016 | Veranstaltungen

NRW Nano-Konferenz in Münster

07.12.2016 | Veranstaltungen

Wie aus reinen Daten ein verständliches Bild entsteht

05.12.2016 | Veranstaltungen

 
VideoLinks
B2B-VideoLinks
Weitere VideoLinks >>>
Aktuelle Beiträge

Einzelne Proteine bei der Arbeit beobachten

08.12.2016 | Biowissenschaften Chemie

Intelligente Filter für innovative Leichtbaukonstruktionen

08.12.2016 | Messenachrichten

Seminar: Ströme und Spannungen bedarfsgerecht schalten!

08.12.2016 | Seminare Workshops