Ein mathematisches 3D-Puzzle

Um solche räumlichen Prozesse untersuchen zu können, simulieren Forscher sie mit dem Computer und benutzen dafür mathematische Modelle. Das Software-Programm TetGen des Weierstraß-Instituts zerlegt räumliche Gebilde in eine Vielzahl von Tetraedern, auf denen die Prozesse mit Hilfe einfacher Funktionen approximiert werden können.

Einen realen Prozess genau zu verstehen oder gar vorhersagen zu können ist schwierig, weil er sehr komplex sein kann. Ein mathematisches Modell beschränkt sich daher auf die wichtigsten Aspekte. Soll zum Beispiel der Blutstrom durch das Herz simuliert werden, ist es für den Computer mit seinem endlichen Speicherplatz nicht möglich, für die unendlich vielen Punkte im Innern des Herzens jeweils einen eigenen Funktionswert zu berechnen. Das Modell ist dann zwar gröber als die Realität, dafür ist es handhabbar und gibt die wesentlichen Aspekte wieder.

Die bisherigen Methoden, mit denen sich räumliche Gebilde in geeignete Teilstücke zerlegen lassen, sind stark von Heuristiken beeinflusst, in diesem Sinne mathematisch nicht bewiesen und daher nicht in allen Fällen robust. Daher haben nun die Mathematiker des Weierstraß-Instituts das Software-Programm TetGen entwickelt. Es zerlegt den Raum in Tetraeder, und zwar auf der Grundlage eines mathematisch weitgehend bewiesenen Verfahrens. Auf jedem Tetraeder wird anschließend der reale Prozess mit einer einfachen Funktion angenähert.

„Das ist, als ob ein Kind mit Bauklötzen spielt“, erläutert Dr. Jürgen Fuhrmann. „Wir versuchen, ein räumliches Gebilde komplett mit Tetraedern auszufüllen, ohne dass es Überschneidungen oder Lücken gibt.“ Was so einfach klingt, ist allerdings sehr komplex. Zunächst muss die gekrümmte Begrenzungsfläche, also zum Beispiel die Herzwand, durch ein Gitter aus Dreiecken angenähert werden.

Um den Raum in Tetraeder zu zerlegen, ist es meistens nötig, neue Ecken im Innern oder auf dem Rand hinzuzufügen. Es gibt bisher noch keine Theorie, mit der sich für einen vorgegebenen Körper die Mindestzahl von Tetraedern für eine Zerlegung angeben lässt. Daher kann TetGen nicht die eine optimale Lösung generieren – falls es sie denn gibt – sondern die Mathematiker arbeiten an immer besseren Ergebnissen.

Die erste Version von TetGen hat Dr. Hang Si 2001 veröffentlicht – in seiner Masterarbeit an der Zhejiang-Universität in China. Im WIAS waren die Wissenschaftler von dem Konzept überzeugt und wollten es gern weiterentwickeln. Also boten sie Hang Si eine Stelle an. Seit 2002 entwickelt der chinesische Wissenschaftler nun die Software und mathematischen Grundlagen für die dahinterliegenden Algorithmen weiter. Diese Resultate bildeten die Grundlage seiner Promotion, die er an der TU Berlin verteidigen konnte.

„Wir haben das Programm immer weiter verbessert, so dass es jetzt auch kompliziertere Körper zerlegen kann.“, erläutert Hang Si. „Es gibt noch viele interessante geometrische Probleme, die gelöst werden müssen, um den Algorithmus verbessern zu können. Ein Beispiel ist die Frage, wie man ein nichtkonvexes Polyeder in eine möglichst optimale Anzahl von Tetraedern zerlegen kann“.

Wichtig ist, dass das Programm frei verfügbar für wissenschaftliche Zwecke ist. So wird es laufend weltweit von Forschern intensiv getestet, und die WIAS-Mathematiker haben viele Hinweise für Verbesserungsmöglichkeiten erhalten. „In TetGen stecken acht Jahre Forschung und das Feedback vieler hochkompetenter Tester“, so Si. Mehrere Firmen haben Lizenzen für die kommerzielle Nutzung von TetGen erworben. So ist es inzwischen in das Programmpaket Mathematica integriert, eines der meistbenutzten mathematisch-naturwissenschaftlichen Programmpakete. Im Rahmen eines gemeinsamen Forschungsprojektes wird es zum Beispiel für die 3D-Darstellung von Städten in den Niederlanden verwendet.

„Es gibt aber noch immer Verbesserungsbedarf“, sagt Hang Si. „TetGen kann noch nicht Gitter aus flachen Tetraedern mit Vorzugsrichtungen generieren, wie sie zum Beispiel für die Darstellung von Strömungen in der Nähe des Randes benötigt werden.“ Daher wird er auch weiter daran arbeiten, das Programm zu verbessern.